数学期望，记作 $E(X)$ 或 $\mu_X$，是随机变量的中心趋势的基本度量。它代表了在多次重复试验中获得的“长期平均”值。从物理意义上讲，它是概率分布的质心，通过所有可能结果的概率加权和来计算。
正式定义
对于离散型随机变量，我们基于概率质量函数（PMF）来定义期望值：
定义 3.1.1
设 $X$ 为一个离散型随机变量。其期望值为：
$$E(X) = \sum_{x \in R^1} x P(X = x) = \sum_{x \in R^1} x p_X(x)$$
定义 3.1.2
如果 $X$ 取不同的值 $x_1, x_2, \dots$，对应概率为 $p_i$，则：
$$E(X) = \sum_i x_i p_i$$
无意识统计学家定律（LOTUS）
要计算变换后变量 $g(X)$ 的期望值，我们无需先求出 $g(X)$ 的密度函数。
定理 3.1.1（LOTUS）
对于任意函数 $g$，$g(X)$ 的期望值是函数值按原始概率加权后的总和：
$E(g(X)) = \sum_{x} g(x) P(X=x)$
核心性质
- 线性性（定理 3.1.2）： $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。即使 $X$ 与 $Y$ 相关也成立！
- 单调性（定理 3.1.4）： 若对所有结果 $s$ 都有 $X(s) \le Y(s)$，则 $E(X) \le E(Y)$。
- 独立性（定理 3.1.3）： 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $E(XY) = E(X)E(Y)$。
例 3.1.6：指示函数
对于指示函数 $I_A$，当事件 $A$ 发生时 $X=1$，否则 $X=0$：
$E(I_A) = (1)P(A) + (0)P(A^c) = P(A)$